مساحة سطح المنشور الرباعي

المنشور الرباعي هو أحد أنواع المنشور المختلفة، ويتكوّن من عدة وجوه فله وجهان رباعيّان، ومتقابلان، ومتطابقان، ومتوازيان يسميان قاعدتا المنشور، وتسمى أوجهه الباقية بالأوجه الجانبيّة، وتتقاطع هذه الأوجه في مستقيمات تسمى الأحرف الجانبيّة، أمّا ارتفاع المنشور فهو البعد بين قاعدتيه.

تتشكّل مساحة سطح المنشور من مجموع مساحات جميع أوجهه، أيّ أنّ مساحته تساوي مساحة السطح الجانبي بالإضافة إلى مساحة القاعدتين، وبما أنّ مساحة سطحه الجانبي هي حاصل جمع مساحات أوجهه الجانبيّة الأربعة، فمساحة كامل سطح المنشور تساوي مساحة الأوجه الجانبيّة بالإضافة إلى مساحة القاعدتين.

• مثال 1: أوجد مساحة منشور رباعي إذا علمت أنّ طول قاعدته يساوي 5 سم، وعرضها يساوي 3 سم، أما ارتفاعه فيساوي 4 سم؟
• الحل:
  • مساحة المنشور الرباعي= مجموع مساحة الأوجه الجانبية+مساحة القاعدتين.
  • مساحة المنشور الرباعي= مساحة الوجهين الأمامي والخلفي+ مساحة الوجهين الجانبيين المتقابلين الآخرين+ مساحة القاعدتين.
  • مساحة الوجهين الأمامي والخلفي= 2×(مساحة الوجه الواحد)= 2× (طول قاعدة المنشور×ارتفاع المنشور )= 2×5×4= 40 سم².
  • مساحة الوجهين الجانبيين الآخرين= 2× (مساحة الوجه الواحد)= 2× (عرض قاعدة المنشور×ارتفاع المنشور)= 2×3×4= 24 سم².
  • مساحة القاعدتين= 2× (مساحة القاعدة الواحدة)= 2× (طول القاعدة×عرض القاعدة)= 2× 5×3= 30 سم².
  • مساحة سطح المنشور= 40+24+30= 94 سم².
• مثال 2: إذا علمت أنّ طول قاعدة منشور رباعي تساوي 10 ملم وعرضها يساوي 5 ملم، وكان ارتفاع المنشور يساوي 6 ملم فما مساحة سطحه؟
• الحل:
  • مساحة المنشور الرباعي= مساحة الوجهين الأمامي والخلفي+ مساحة الوجهين الجانبيين المتقابلين الآخرين+ مساحة القاعدتين.
  • مساحة الوجهين الأمامي والخلفي= 2× (مساحة الوجه الواحد)= 2× (طول قاعدة المنشور×ارتفاع المنشور)= 2×10×6= 120 ملم²
  • مساحة الوجهين الجانبيين الآخرين= 2× (مساحة الوجه الواحد)= 2× ( عرض قاعدة المنشور×ارتفاع المنشور)= 2×5×6= 60 ملم².
  • مساحة القاعدتين= 2× (مساحة القاعدة الواحدة)= 2× (طول القاعدة× عرض القاعدة )= 2×10×5= 100 ملم².
  • مساحة سطح المنشور= 120+ 60+ 100= 280 ملم².
• مثال 3: احسب ارتفاع منشور رباعي إذا علمت أنّ مساحته تساوي 158 سم²، وطول قاعدته تساوي 8 سم، أما مساحة قاعدته فتساوي 80 سم²؟
• الحل:
  • مساحة المنشور الرباعي= مساحة الوجهين الامامي والخلفي+ مساحة الوجهين الجانبيين المتقابلين الاخرين+ مساحة القاعدتين؛ 158= مساحة الوجهين الامامي والخلفي+ مساحة الوجهين الجانبيين المتقابلين الاخرين+ 80.
  • مساحة الوجهين الأمامي والخلفي+ مساحة الوجهين الجانبيين المتقابلين الآخرين= 158- 80= 78سم².
  • مساحة الوجهين الأمامي والخلفي= 2× (مساحة الوجه الواحد)= 2× (طول قاعدة المنشور× ارتفاع المنشور).
  • مساحة الوجهين الأمامي والخلفي= 2×8×الارتفاع=16 ×الارتفاع.
  • مساحة الوجهين الجانبيين الآخرين= 2× (مساحة الوجه الواحد)= 2× (عرض قاعدة المنشور× ارتفاع المنشور).
• لإيجاد عرض قاعدة المنشور:
  • مساحة قاعدة المنشور الواحدة= مساحة القاعدتين \ 2= 80 \ 2= 40 سم².
  • مساحة القاعدة= طول القاعدة× عرض القاعدة؛ 40= 8× عرض القاعدة.
  • عرض قاعدة المنشور= 40 \8= 5 سم.
  • مساحة الوجهين الجانبيين الآخرين= 2× (مساحة الوجه الواحد)= 2× (عرض قاعدة المنشور× ارتفاع المنشور).
  • مساحة الوجهين الجانبيين= 2× 5×الارتفاع= 10× الارتفاع.
  • ومنه تتكون المعادلة بمجهول واحد وهي: 78= (16× الارتفاع) + ( 10× الارتفاع)، 78= 26× الارتفاع.
  • ارتفاع المنشور الرباعي = 78 \ 26= 3 سم.